Quale è la definizione di un integrale definito?

La somma infinitesima del prodotto di una funzione e l'incremento infinitesimo della variabile indipendente da un punto a a un punto b.

L'area sottesa al grafico di una funzione tra due punti.

La tangente alla curva di una funzione in un punto.

Il valore massimo di una funzione all'interno di un intervallo.

Quale teorema stabilisce una relazione tra l'integrale definito di una funzione e l'area sotto la curva di quella funzione?

Il teorema fondamentale del calcolo

Il teorema delle derivate parziali

Qual è il significato geometrico dell'integrale definito?

L'area sottesa al grafico della funzione tra due punti.

La variazione media della funzione su un intervallo.

Il valore massimo della funzione in un intervallo.

La pendenza della tangente alla curva della funzione.

Qual è la condizione necessaria affinché una funzione sia integrabile definita su un intervallo chiuso?

La funzione deve essere limitata su quell'intervallo.

La funzione deve essere derivabile su quell'intervallo.

La funzione deve essere continua su quell'intervallo.

La funzione deve essere pari su quell'intervallo.

Quale metodo può essere utilizzato per calcolare un integrale definito di una funzione?

Il metodo delle derivate parziali

Qual è la definizione di un integrale indefinito?

La funzione che rappresenta tutte le antiderivate di una funzione.

La somma infinitesima del prodotto di una funzione e l'incremento infinitesimo della variabile indipendente da un punto a a un punto b.

La tangente alla curva di una funzione in un punto.

L'area sottesa al grafico di una funzione tra due punti.

Integrali definiti

Ciao ragazzi in questo video parleremo di integrali vedremo innanzitutto in maniera un po informale di che cosa si tratta poi cercheremo di darne una definizione un po più rigorosa e infine vedremo concretamente come fare a calcolarli supponevo quindi che ci vengano assegnate una certa funzione f dx e un certo intervallo ab sull'asse hicks allora potete pensare all'integrale della funzione f dx sull'intervallo abili come all'area della regione di piano che vi ho colorato qui in giallo e che vedete è sostanzialmente l'area sottesa dal grafico della funzione f dx all'interno dell'inter vallino ap né altre parole l'integrale definito tra e b della funzione f dx integrata index che si indica con questa notazione ci fornisce l'area consegna della regione di piano compresa tra il grafico di f dx l'asse hicks e le rette verticali hicks uguale a da edx uguale sa.ba perché dico aria con il segno ragazzi perché quello che accade è che se il grafico della funzione f dx che io ho preso qui al di sopra della sx fosse invece al di sotto quindi se volete se la funzione f dx fosse negativa nell'inter vallino abi che ci interessa allora avremo che il risultato dell'integrale coinciderebbe con un numero che è l'area cambiata però disegno queste considerazioni sull'interpretazione geometrica dell'integrale ed in particolare sulle eventuali segno da dare all'area riprenderemo meglio in uno dei video successivi e vi saranno più chiare tra un attimo quando ci occuperemo della definizione formale dell'integrale prima però cerchiamo di capire come si chiamano le varie parti che compongono questa notazione l'intervallo avente come estremi a e b lungo qui svolgiamo l'operazione di integrazione prende il nome di intervallo o se volete anche zona di integrazione mentre la funzione f dx che stiamo integrando quindi quella di cui ci interessa l'area del sotto grafico prendendo a me di funzione integrando mentre dell'ics che ci compare qui in fondo a chiusura della notazione ci ricorda che stiamo integrando rispetto alla variabile cerchiamo a questo punto di capire come si fa a definire ha vigorosamente ed integrale e nel fare questo cominciamo considerando il caso di una funzione costante che valga sempre k e che abbia quindi come grafico una retta orizzontale per funzioni di questo tipo quindi funzioni che assumano sempre lo stesso valore all'interno dell'intervallo che ci interessa integrale viene definito dal prodotto della lunghezza dell'intervallo quindi p meno a x il valore costante che la funzione assume all'interno dell'intervallo quindi k e coincide quindi con l'area con segno del rettangolino che si viene a costruire tra il grafico della funzione l'asse hicks e le rette verticali hicks uguale ad a ed hicks uguale a b e capiti anche perché l'area col segno x che vedete b meno a che rappresenta la lunghezza della base viene sicuramente positivo infatti bit è più grande di a mentre il valore k costante che assume la funzione potrebbe anche essere negativo se questa retta orizzontale stesse al di sotto capite dell'asse delle ascisse e quindi quello che accade che il prodotto di queste due quantità ci fornisce l'area del rettangolino se k e maggiore di zero mentre ci fornirebbe l'area del rettangolino cambiata disegno se k fosse una quantità negativa abbiamo quindi visto che definire l'integrale risulta abbastanza semplice se la nostra funzione è costante e risulta un'operazione poco più complicata se la nostra funzione invece di essere costante è costante a tratti le funzioni costanti a tratti dette anche funzioni a scala non sono altro che funzioni come quella che vi ho riportato qui che assumano un certo valore per esempio k con uno in un primo intervallo poi assumono un nuovo valore per esempio k con due in un secondo intervallo e così via per un certo numero di intervalli che io che ho chiamato genericamente n quindi nell'ennesimo intervallino la funzione assumerà il valore k con n capite che a questo punto il nostro intervallo ab illo possiamo pensare come suddiviso in tanti intervalli più piccoli e vedete che ho chiamato hicks con 0 ed hicks con uno gli estremi qui del primo intervallino poi avremo hicks con uno e di xco gli estremi del secondo e così via finché a questo punto l'ultima sarebbe hicks con n e il precedente hicks con è nemmeno uno e naturalmente avremo che hicks con zero coincide con all'inizio ed hicks con n coinciderebbe quindi con b per una funzione di questo tipo quindi per una funzione a scala l'integrale viene definito come la somma algebrica delle aree prese naturalmente consegna dei vari rettangolini che si vengono a creare vedete in corrispondenza di ciascuno dei tratti in cui la funzione risulta costante vedete che i due termini che compaiono moltiplicati all'interno della sommatoria non sono altro che la base è l'altezza presa col segno del jesi mo rettangolino della nostra sequenza di n rettangolini complessivi e quindi fare la sommatoria per i che va da 1 fino ad n significa proprio poi sommare tutti questi contributi tra di loro fin qui quindi è tutto abbastanza easy l'unica differenza tra il primo caso il secondo caso se volete è che invece di avere un unico rettangolino abbiamo di sotto più rettangolini ma si tratta comunque di fare delle aree di rettangoli eventualmente prese e consegnò la faccenda diventa invece molto meno banale quando la nostra funzione non è costante perché a questo punto il sotto grafico vedete è diventato un trappeto ed è già una figura che assomiglia a un trapezio vedete a due lati paralleli ma al posto di avere un lato obliquo cern passatemi il termine un lato storto e questo naturalmente complica la cosa perché non abbiamo più una formula comoda come l'area del rettangolo da poter utilizzare come fare quindi a cavarsela in questo caso l'idea è fondamentalmente quella di andare a considerare delle funzioni a scala che siano sempre maggiori uguali della nostra funzione f dx vedete io qui viene disegnata una che ho chiamato hdx e vedete che sta sempre al di sopra o al limite eventualmente coincide con la nostra funzione f dx e quello che possiamo fare sostanzialmente approssimare il valore dell'area che vogliamo calcolare con l'integrale della funzione a scala verde e questo integrale della funzione a scala verde l'abbiamo definito prima non è altro che la somma delle aree di questi rettangolini prese con il proprio segno più precisamente possiamo dire che l'area del sotto grafico che ci riproponiamo di calcolare deve essere minore o uguale dell'integrale tra i big della funzione a scala hdx ed è anche chiaro che di funzione a scala hdx che siano sempre maggiori uguali della funzione f all'interno dell'intervallo ab non c'è solo questa ce ne sono naturalmente infinite e di queste infinite funzioni come potete notare dando un occhiata questa animazione ce ne sono alcune che approssimano meglio di altre l'area gialla che ci riproponiamo di calcolare e di conseguenza se noi considerassimo l'insieme di queste infinite funzioni e più precisamente l'insieme dei loro integrali ci aspettiamo che l'estremo inferiore di questo insieme coincide sostanzialmente con l'area che vogliamo calcolare e questo perché i ragazzi perché funzioni a scala di questo tipo sostanzialmente approssimano per eccesso la funzione viola e quindi il loro integrale ci fornirà una sovrastima dell'area e quindi se immaginassimo di prendere vi avviate le funzioni a scala che approssimano sempre meglio il comportamento della f ci aspettiamo in tutta risposta che i loro integrale diventino sempre più piccoli cioè sempre più vicini al valore vero dell'area che stiamo cercando di calcolare e quindi capite che il valore dell'area diventa proprio qui il numero a cui questi integrali tendono a mano a mano che miglioriamo l'approssimazione e quindi capite diventa l'estremo inferiore del loro insieme naturalmente lo stesso giochino che noi abbiamo appena fatto con le funzioni hdx che sovrastimano la funzione f1 lo potrebbe fare con delle funzioni a scala tipo la gdx che vi ho disegnato qui che invece sottostimano il valore di f cioè sono delle funzioni a scala che sono sempre minori uguali dalla effe dx è chiaro che similmente a quanto accadeva prima di funzioni gdx di questo tipo ce ne sono infinite e naturalmente alcune approssimeranno meglio di altre l'andamento della funzione f e dunque se consideriamo gli insieme dei loro integrali possiamo pensare al valore dell'area che vogliamo calcolare come all'estremo sud di ore di questo insieme se quindi come spesso accade l'estremo superiori di un insieme coincide con l'estremo inferiore dell'altro allora si dice che la funzione arimany integrabile sull'intervallo a b ed il valore comune è proprio l'integrale della funzione f calcolato sull'intervallo ab cosa che geometricamente possiamo interpretare come la misura nell'area o perché ho detto se come spesso accade questi due valori coincidono perché in realtà potrebbe sembrare scontato che debbano coincidere nel senso che ci si immagina che si all'estremo superiore di questo insieme che l'estremo inferiore di quest'altro insieme sostanzialmente debbano restituire l'area in realtà però ci sono dei casi di funzioni anche limitate ma molto particolari in cui questo non accade se siete curiosi e guardate che sono funzioni comunque molto poco frequenti vi lascio un link nella descrizione qui sotto dove potete approfondire la cosa capito questo vediamo adesso come si fa concretamente a calcolare un integrale e in maniera se volete in un certo senso analoga a quanto accadeva per le derivate per fare il calcolo degli integrali non si sfrutta direttamente la definizione che abbiamo appena dato un po come quando dovete calcolare una derivata e non vi sporcate le mani direttamente con il limite del rapporto incrementale che sarebbe proprio la definizione della derivata ci sono delle strategie più efficaci più rapide se volete per fare questo calcolo ecco qualcosa di simile accade con gli integrali e cerchiamo di capire concretamente come si fa la prima cosa che devo fare se voglio calcolare l'integrale di una certa funzione f dx sull'intervallo ab è quella di trovare un'altra funzione che nell'intervallo ab abbia la nostra fbx come derivata cioè dove trovare una cosiddetta primitiva della funzione f dx una volta trovata e di solito la si indica con f grande se la funzione di partenza la effe piccolo si va a calcolarla nei due estremi di integrazione è una volta che siano questi due valori c'è una volta che abbiamo f grande di b ed f grandi di a è sufficiente sottrarli per trovare proprio il valore dell'integrale quindi fondamentalmente la procedura è basata tre passaggi provo una primitiva la calcolo nei due estremi di integrazione e sottraggo questi due numeri il risultato è proprio il valore dell'integrale per capire meglio la cosa consideriamo subito un esempio e supponiamo quindi di dover calcolare l'integrale tra 0 e 5 d3x quadro index allora per prima cosa dobbiamo trovare una funzione che abbia 3x quadro come derivata nell'intervallo 05 e se ci pensate bene qual è una funzione che a 3x quadro come derivata per esempio la funzione hicks al cubo che noi dobbiamo andare a calcolare negli estremi di integrazione che sono hicks uguale a 5 ed hicks uguale a zero e vedete che per indicare che la dobbiamo calcolare proprio nei due estremi 5 è 0 si utilizza questa notazione con due parentesi quadrate e si riportano gli estremi 1 qui in alto e l'altro qui in basso quindi questa notazione sottende che adesso questo hicks al cubo lo dovremmo calcolare prima i knicks uguale a 5 e poi i knicks uguale a zero e poi dovremmo sottrarre i due valori che otteniamo se quindi lo facciamo concretamente vedete che otteniamo 5 elevato alla terza che non è altro che la primitiva hicks alla terza calcolata mettendo al posto della x5 e gli dobbiamo poi sottrarre sempre la primitiva hicks alla terza calcolata però i knicks uguale a zero cioè mettendo 0 al posto della ics e

Processo costruttivo : modalità esecutive utilizzate per la realizzazione di ogni parte costitutiva dell’edificio. La scelta deve essere riferita ad aspetti contingentati come: la cultura tecnologica locale, gli obbiettivi economici, capacità di organizzazione nel lavoro del cantiere, sistemi di approvvigionamento dei materiali. Fasi del processo costruttivo: Programmazione (rilevamento esigenze, scelta dell’obbiettivo, studio o progetto di fattibilità, definizione dell’intervento edilizio) Progettazione (formato da metaprogetto, progetto preliminare, progetto definitivo, progetto esecutivo) Realizzazione (affidamento dell’appalto, stipula del contratto, nomina del direttore dei lavori, gestione e controllo delle fasi esecutive, collaudo dell’opera) Gestione e dismissione ( esercizio impianti tecnici, manutenzione, recupero, demolizione) Gli attori di questo processo sono degli Enti ( Pianificatori, normatori, di Attuazione) In passato il processo costruttivo si basava sul sistema costruttivo tradizionale (cioè nella realizzazione delle murature portanti) Da trent’anni a questa parte è cambiato: tecnologie più evolute, razionalizzazione del cantiere. Anche l’introduzione del cls armato ha cambiato radicalmente: necessità di separare in modo più netto le attività destinate alla realizzazione di fondazioni, strutture portanti e opere di completamento. Così anche dal maggiore sviluppo delle macchine da cantiere, di molteplici attrezzature, di materiali innovativi. Tipologie di sistemi costruttivi: Tradizionale : realizzazione di ogni elemento direttamente in cantiere (basso contenuto tecnologico, alto contenuto di lavoro) Razionalizzato o ibrido : vantaggio di efficenza costruttiva e quindi economico , ha strutture portanti di calcestruzzo armato ma permette l’uso anche di elementi caratteristici di altri sistemi costruttivi ) Industrializzato o a pie d’opera : elementi strutturali realizzati direttamente in cantiere utilizzando diverse tipologie di casserature; processo produttivo basato su 24h in cui viene fatto tutto ( dalla posata delle casserature al compattamento del getto) Queste casserature possono essere di diverso tipo: Tunnel, usato per gli interventi di grandi dimensioni (crea una canna pari a un piano dell’edificio) , Banches et Tables , ampiamente utilizzata il vantaggio è la velocità , Sistema Grigliato tipo Peri Gridflex crea un piano di sicurezza per gli operatori permette di creare dei solai con 33 cm di spessore, Sistema Alumecano stessa funzione del precedente Prefabbricazione : processo che prevede la scomposizione dell’edificio nelle sue parti, preparazione elementi in un luogo diverso dal cantiere. La prefabbricazione può essere fuori d’opera, a piè d’opera, a pie di fabbrica. Fasi: produzione viene fatta con stampi metallici , vengono inserite in officina direttamente gli infissi e la tubazioni, gli elementi finiti vengono trasportati in cantiere e assemblati. Gli elementi possono essere classificati in base a tre criteri: geometrico (monodimensionale, bidimensionale, tridimensionale), del peso (leggera: ciò che non è strutturale ne portante, pesante: elementi bidimensionali e tridimensionali,strutturali e portanti), del sistema prefabbricato (chiuso: prevede che si usino solo elementi del sistema prefabbricato, meno flessibile e meno economico , aperto: elementi del sistema integrati con altri sistemi costruttivi) Prefabbricazione metallica: preparazione in officina del elementi, il montaggio avviene tramite bullonature e saldature elettriche, può essere totale o parziale\mista Sistemi costruttivi lignei di tipo prefabbricato: numerosi vantaggi. Ballon Frame: montanti che hanno l’altezza di due piani collocati ad un interasse di 45 cm, connessione mediante chiodatura, basta un solo uomo per montare tutto. Paltform frame: evoluzione del Ballon, montanti ogni 3m max, ogni piano funge da piattaforma per i piani superiori, fondazioni a platea. Blockbau: soprattuto edifici di uno o due piani, forma primordiale delle costruzioni. Setti portanti e sopra delle travi (panconati), incastro maschio-femmina, connessione al terreno mediante un solaio areato, all’involucro invece viene aggiunto uno strato di isolante. Sistema a travi e pilastri: sistema tradizionale riletto in chiave moderna. Montanti lignei verticali ed elementi orizzontali posti a breve distanza di “interasse”, nelle intercapedini c’è l’isolamento Sistemi a panelli intelaiati : dotato di un telaio leggero fatto di segati e dei pannelli formati da più strati incollati tra loro (completo di aperture) X-Lam : pannello monolitico formato da un compensato strutturale di legno massiccio formato da lamelle poste a strati incrociati, arrivano in cantiere pretagliati (basamento a platea, per impedire che il sisma ribalti o faccia scorrere la parete ) Differenza calcestruzzo armato gettato in opera e calcestruzzo precompresso: il primo copre una luce di 5,5\ 6m , il secondo se ha solo la trave precompressa 7,2 m e 10 se ha sia la trave che il solaio.

Definite Integrals

The Definite Integral

Definite Integrals - Geometric Approach

Geometric Definite Integrals

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