dormi sepolto in un campo di grano non è la rosa non è il tulipano

Prova risposta aperta

L'attentato alle Torri Gemelle dell'11 settembre 2001 è stato orchestrato dall'organizzazione terroristica al-Qaida, guidata da Osama bin Laden. Al-Qaida, un gruppo estremista islamico, aveva l'obiettivo di colpire gli Stati Uniti per una serie di motivi, tra cui la loro presenza militare in Medio Oriente, il sostegno a Israele e le politiche economiche e geopolitiche percepite come oppressive nei confronti dei Paesi musulmani. L'attacco ha coinvolto 19 terroristi, che hanno dirottato quattro aerei commerciali: due hanno colpito le Torri Gemelle a New York, un altro il Pentagono vicino a Washington, D.C., mentre il quarto, United Airlines Flight 93, è precipitato in un campo in Pennsylvania dopo che i passeggeri hanno tentato di riprendere il controllo dell'aereo. Osama bin Laden ha rivendicato la responsabilità dell'attentato, che ha provocato circa 3.000 morti e ha avuto un impatto duraturo sulla politica internazionale, portando alle guerre in Afghanistan e Iraq e a significativi cambiamenti nella sicurezza globale Il fatto che quattro aerei dirottati siano riusciti a deviare dalla loro rotta senza un immediato intervento da parte delle autorità aeree è legato a una serie di fattori: 1. **Dirottamenti inattesi**: Prima dell'11 settembre 2001, il protocollo per gestire i dirottamenti aerei era molto diverso. I dirottamenti aerei, quando accadevano, di solito erano gestiti attraverso negoziazioni e si presumeva che i dirottatori cercassero principalmente attenzione o denaro, non attacchi suicidi. Non c'era una preparazione specifica per l'eventualità che gli aerei venissero usati come armi. 2. **Interruzione delle comunicazioni**: I dirottatori hanno spento i transponder sugli aerei (dispositivi che inviano segnali radar con informazioni su altitudine e posizione), rendendo difficile per i controllori del traffico aereo tracciare con precisione gli aerei. Gli aerei risultavano ancora visibili sui radar primari, ma senza i dati specifici del transponder era difficile capire immediatamente che c'era una deviazione fuori rotta. 3. **Tempo di reazione**: Gli eventi si sono svolti in un breve arco di tempo. I primi segni di problemi sui voli sono emersi intorno alle 8:14 (con l'American Airlines Flight 11), e il primo schianto contro la Torre Nord è avvenuto alle 8:46. Tra l'inizio dei dirottamenti e gli impatti, il tempo per reagire è stato limitato. La portata dell'attacco era senza precedenti, e nessuno si aspettava che i dirottatori avrebbero usato gli aerei come armi contro obiettivi civili. 4. **Coordination failures**: Anche se ci sono stati segnali di problemi, la comunicazione tra le varie agenzie coinvolte (Federal Aviation Administration, NORAD, ecc.) non era ottimale. La procedura per attivare la difesa aerea in caso di dirottamento era complessa, e la possibilità che aerei civili venissero utilizzati come armi suicide non era contemplata nei protocolli. 5. **NORAD e tempi di risposta**: Il NORAD (North American Aerospace Defense Command), incaricato della difesa aerea, aveva una capacità limitata di intercettare rapidamente aerei dirottati nello spazio aereo interno. Prima dell'11 settembre, le operazioni di difesa erano concentrate su possibili minacce esterne, e non su attacchi interni. Anche quando i caccia furono inviati, era troppo tardi per impedire gli impatti. Questi fattori, combinati con l'incredulità che un tale attacco potesse realmente accadere, hanno reso possibile che quattro aerei fossero dirottati e usati come armi senza un intervento preventivo efficace. Dopo l'11 settembre, furono apportati significativi cambiamenti ai protocolli di sicurezza aerea per prevenire simili attacchi in futuro. L'idea che l'11 settembre abbia fornito un "pretesto" per attaccare l'Afghanistan è stata ipotizzata da diverse teorie del complotto e punti di vista critici sulla politica estera degli Stati Uniti. Tuttavia, è importante distinguere tra i fatti documentati e le ipotesi non verificate. ### Fatti documentati: 1. **Al-Qaida e Osama bin Laden**: Gli attacchi dell'11 settembre sono stati rivendicati da al-Qaida, che aveva il suo quartier generale in Afghanistan sotto la protezione del regime talebano. Gli Stati Uniti hanno chiesto ai talebani di consegnare Osama bin Laden, ma il governo talebano ha rifiutato. Questo ha portato all'intervento militare in Afghanistan con l'obiettivo dichiarato di smantellare al-Qaida e rimuovere i talebani dal potere. 2. **Legittimazione internazionale**: L'invasione dell'Afghanistan è stata ampiamente appoggiata a livello internazionale, con il sostegno delle Nazioni Unite e della NATO. Il Consiglio di Sicurezza delle Nazioni Unite ha approvato risoluzioni che condannavano gli attacchi e riconoscevano il diritto di difesa degli Stati Uniti. ### Teorie del complotto: Alcuni teorici sostengono che l'11 settembre potrebbe essere stato usato come pretesto per giustificare una guerra che rientrava in più ampi interessi geopolitici. Secondo questa visione, l'invasione dell'Afghanistan non riguardava solo la lotta contro il terrorismo, ma anche: - **Influenza geopolitica**: Gli Stati Uniti avrebbero cercato di stabilire una maggiore presenza militare e influenza in una regione strategica, vicina a Paesi come l'Iran, la Cina e la Russia. - **Risorse naturali**: L'Afghanistan ha un'importanza geopolitica anche per i suoi potenziali corridoi energetici e per le sue risorse minerarie, anche se non ha ricchezze petrolifere significative come altri Paesi del Medio Oriente. ### Critiche legittime: Al di là delle teorie del complotto, ci sono critiche legittime alla risposta degli Stati Uniti e all'espansione della guerra al terrorismo. Ad esempio: - **La guerra in Iraq**: Mentre l'invasione dell'Afghanistan fu largamente supportata, l'invasione dell'Iraq nel 2003 fu molto più controversa. Molti analisti ritengono che l'amministrazione Bush abbia sfruttato la paura generata dall'11 settembre per giustificare un attacco all'Iraq, anche se non c'erano prove concrete di un collegamento tra il regime di Saddam Hussein e al-Qaida. - **Durata della guerra**: La guerra in Afghanistan si è trasformata in un conflitto di lunga durata, che molti vedono come fallimentare, con risultati incerti nonostante il grande impegno militare ed economico. ### Conclusione: Sebbene sia possibile che alcune figure politiche o militari abbiano sfruttato l'attacco dell'11 settembre per portare avanti agende geopolitiche preesistenti, i fatti storici mostrano che l'invasione dell'Afghanistan fu una reazione diretta agli attacchi e alla minaccia di al-Qaida. Le decisioni successive, in particolare l'espansione della "guerra al terrorismo", sono state oggetto di forti critiche e controversie, ma non ci sono prove concrete che l'11 settembre sia stato pianificato o lasciato accadere per giustificare un'invasione. La **caduta delle Torri Gemelle** l'11 settembre 2001 è stata causata principalmente dai **danni strutturali provocati dall'impatto degli aerei e dal conseguente incendio**, secondo le indagini ufficiali. Le teorie che ipotizzano l'uso di esplosivi sono state ampiamente investigate ma smentite dalle analisi tecniche e dalle prove disponibili. ### Versione ufficiale: 1. **Impatto degli aerei**: Gli aerei di linea colpirono le Torri Gemelle a una velocità molto elevata, causando danni immediati e significativi alle colonne portanti esterne e interne degli edifici. Questi danni strutturali compromettevano già parte della stabilità delle torri. 2. **Incendi**: L'impatto degli aerei ha causato l'esplosione del carburante contenuto nei serbatoi, innescando vasti incendi. Il calore generato dagli incendi all'interno degli edifici raggiunse temperature estremamente elevate (fino a 1000°C o più), che indebolirono ulteriormente l'acciaio delle strutture portanti. 3. **Cedimento strutturale**: L'acciaio non deve necessariamente fondere per perdere la sua capacità portante; a temperature elevate, l'acciaio diventa più malleabile e perde resistenza. Questo, unito al danno meccanico già causato dall'impatto degli aerei, ha portato al cedimento progressivo delle strutture superiori, che sono collassate sui piani inferiori in una sorta di effetto domino. Questo spiega il "crollo verticale" delle torri. ### Investigazioni tecniche: 1. **Rapporto del NIST**: Il **National Institute of Standards and Technology (NIST)** ha condotto un'indagine approfondita sulla caduta delle torri. Secondo il rapporto del NIST, **non ci sono prove** che suggeriscano l'uso di esplosivi o ordigni nei crolli delle torri. I crolli sono stati attribuiti esclusivamente ai danni strutturali causati dagli impatti e agli incendi successivi. 2. **Simulazioni e analisi**: Gli ingegneri hanno simulato il comportamento degli edifici durante l'attacco e hanno concluso che l'indebolimento delle strutture portanti a causa del calore è stato sufficiente a spiegare il collasso. Il crollo avvenne in maniera progressiva e non con le caratteristiche di una demolizione controllata, come l'uso di esplosivi. ### Teorie del complotto: Nonostante le spiegazioni tecniche ufficiali, alcune persone sostengono che il crollo sia stato causato da esplosivi piazzati all'interno delle torri. Queste teorie si basano su: - **Testimonianze di esplosioni**: Alcune persone hanno riportato di aver sentito rumori di esplosioni prima o durante i crolli. Tuttavia, gli esperti hanno spiegato che questi rumori possono essere attribuiti a numerosi fattori, come i cedimenti strutturali e le esplosioni secondarie dovute al cedimento di infrastrutture interne (ad esempio, serbatoi di gas o trasformatori elettrici). - **Crollo simmetrico**: Alcuni teorici sostengono che il crollo delle torri sia stato troppo "ordinato" per essere casuale. Tuttavia, il collasso verticale è stato spiegato come il risultato del cedimento simultaneo di più colonne portanti indebolite dal calore. - **Teoria del crollo controllato**: Alcuni sostengono che le torri siano cadute con la rapidità e la precisione di una demolizione controllata. Tuttavia, studi dettagliati del NIST e altre organizzazioni non hanno trovato alcuna prova di esplosivi o segni di una demolizione pianificata. ### Conclusione: Le indagini ufficiali e i rapporti tecnici indicano chiaramente che il crollo delle Torri Gemelle è stato causato dagli impatti degli aerei e dai successivi incendi che hanno indebolito la struttura, portando al collasso progressivo. Le teorie che ipotizzano l'uso di esplosivi sono state esaminate ma non supportate da prove concrete. L'11 settembre 2001 ha avuto un impatto profondo anche sulla musica, influenzando artisti di diversi generi e portandoli a esprimere il dolore, la rabbia, la riflessione e la speranza che l'evento ha generato. La musica ha raccontato l'episodio da diverse prospettive, esplorando sia il trauma individuale che quello collettivo, e offrendo una forma di guarigione o commemorazione per chi l'ha vissuto. ### Canzoni che hanno affrontato l'11 settembre: 1. **Bruce Springsteen – "The Rising" (2002)** Questo album è uno dei più emblematici legati all'11 settembre. La title track, "The Rising", racconta la storia di un pompiere che sale verso le Torri Gemelle e riflette sul sacrificio e la speranza. L'intero album esplora i temi della perdita e della resilienza attraverso il prisma dell'America post-11 settembre, e rappresenta una sorta di catarsi per molte persone che hanno cercato conforto nella musica. 2. **Paul McCartney – "Freedom" (2001)** Paul McCartney era a New York il giorno degli attacchi e ha scritto questa canzone in risposta, cercando di trasmettere un messaggio di forza e resistenza. "Freedom" è stata eseguita al concerto benefico **"The Concert for New York City"**, un evento organizzato per raccogliere fondi per le vittime dell'attacco e celebrare il coraggio dei soccorritori. 3. **Toby Keith – "Courtesy of the Red, White and Blue (The Angry American)" (2002)** Questa canzone country ha rappresentato il lato più patriottico e arrabbiato della reazione americana agli attentati. Toby Keith esprime il desiderio di giustizia (o vendetta), e la canzone è diventata molto popolare tra coloro che volevano una risposta forte agli attacchi. Sebbene controversa per i suoi toni duri, ha rappresentato una parte significativa del sentimento nazionale. 4. **Alan Jackson – "Where Were You (When the World Stopped Turning)" (2001)** Questa ballata country ha cercato di catturare lo shock, la confusione e il dolore collettivo che l'11 settembre ha causato. La canzone pone domande che molti si sono fatti: "Dov'eri quando il mondo si è fermato?" Il tono è riflessivo e malinconico, ed è diventata una delle canzoni più ricordate che trattano direttamente dell'evento. 5. **U2 – "Walk On" (2001)** Sebbene scritta prima dell'11 settembre, "Walk On" è diventata una sorta di inno di resilienza dopo l'attacco. U2 ha dedicato diverse performance della canzone alle vittime dell'11 settembre, e il testo, che parla di andare avanti di fronte alle avversità, è stato interpretato come un messaggio di forza per chi cercava di ricostruire la propria vita. 6. **Neil Young – "Let’s Roll" (2001)** Questa canzone è stata ispirata dagli atti eroici dei passeggeri del volo United 93, che si sono ribellati contro i dirottatori, impedendo che l'aereo colpisse un obiettivo a terra. La frase "Let's roll" era ciò che uno dei passeggeri, Todd Beamer, ha detto mentre guidava la ribellione. Neil Young ha scritto questo brano per onorare quei passeggeri coraggiosi. ### Concerti e eventi musicali commemorativi: - **The Concert for New York City (2001)** Subito dopo gli attacchi, questo grande concerto benefico si è tenuto al Madison Square Garden per raccogliere fondi a favore delle vittime e per rendere omaggio ai soccorritori. Vi hanno partecipato artisti come Paul McCartney, The Who, Mick Jagger, David Bowie e molti altri. L'evento è stato una celebrazione dell'unità e della solidarietà di fronte alla tragedia. - **America: A Tribute to Heroes (2001)** Questo telethon, trasmesso a livello nazionale, ha visto la partecipazione di artisti come Bruce Springsteen, U2, Celine Dion e molti altri. Lo scopo era quello di raccogliere fondi per le vittime e i loro familiari, e molte delle performance erano riflessive e piene di emozione, offrendo un momento di unità e commiserazione collettiva. ### Effetti sull’industria musicale: L'11 settembre ha avuto anche un impatto diretto sull'industria musicale: - **Censura e sensibilità**: Molte canzoni che potevano essere considerate inappropriate o troppo aggressive dopo l'11 settembre furono temporaneamente rimosse dalle playlist radiofoniche, come "Imagine" di John Lennon (per il suo messaggio pacifista) o "New York, New York" di Frank Sinatra, per il legame con la città colpita. - **Modifiche ai testi e alle copertine**: Alcuni artisti modificarono testi o copertine di album che potevano sembrare insensibili o inappropriate nel clima post-11 settembre. Ad esempio, i Dream Theater cambiarono la copertina del loro album "Live Scenes from New York" perché raffigurava il World Trade Center in fiamme, una coincidenza che uscì pochi giorni prima degli attacchi. ### Conclusione: La musica ha offerto un modo per elaborare il trauma dell'11 settembre, sia attraverso canzoni che commemorano i caduti, sia con inni che hanno ispirato resistenza e speranza. Artisti di ogni genere hanno interpretato l'evento in modi diversi, riflettendo la complessità delle emozioni che ha suscitato, dall'angoscia e la perdita alla forza e la solidarietà. Sì, le **Dixie Chicks** (oggi conosciute come **The Chicks**) hanno avuto notevoli problemi, ma non per aver trattato direttamente il tema dell'11 settembre. I problemi che hanno affrontato sono legati alle loro critiche alla guerra in Iraq e alla presidenza di **George W. Bush**, che erano strettamente connesse al clima politico post-11 settembre. ### Contesto: Nel marzo 2003, durante un concerto a Londra, la cantante **Natalie Maines**, frontwoman delle Dixie Chicks, fece una dichiarazione che scatenò una controversia a livello nazionale negli Stati Uniti. Mentre l'invasione dell'Iraq era imminente, Maines disse al pubblico: > **"Just so you know, we’re ashamed that the President of the United States is from Texas."** Questa dichiarazione era una critica diretta al presidente **George W. Bush**, nato in Texas come Maines e il resto della band. La critica arrivava in un momento in cui il patriottismo e il sostegno alla guerra erano fortemente presenti negli Stati Uniti, specialmente nel Sud, dove le Dixie Chicks avevano una vasta base di fan nella comunità country. ### Conseguenze: 1. **Boicottaggi e censure**: Dopo il commento di Maines, molte stazioni radio, soprattutto quelle country, **boicottarono le Dixie Chicks**, rimuovendo le loro canzoni dalle playlist. In alcune parti degli Stati Uniti, i fan organizzarono pubblici **roghi dei loro album**. 2. **Perdita di supporto nel mondo country**: La comunità della musica country, che spesso riflette valori patriottici e conservatori, si rivolse contro di loro. Molti artisti e fan country criticarono duramente le Dixie Chicks per aver espresso opinioni contro la guerra e contro il presidente in un momento in cui il sostegno alla leadership nazionale era considerato importante. 3. **Minacce e ostilità**: Le Dixie Chicks ricevettero **minacce di morte** e furono soggette a intense campagne di odio. Questo dimostrò quanto fossero polarizzate le opinioni politiche negli Stati Uniti all'epoca, specialmente nell'industria della musica country. 4. **Carriera messa in pausa**: Dopo la controversia, la loro carriera negli Stati Uniti subì un grave colpo. Le vendite dei loro album calarono, e per diversi anni furono considerate una "band alienata" dall'industria country. Tuttavia, il gruppo trovò maggiore supporto nel pubblico internazionale e in generi musicali non tradizionalmente legati al country. ### La risposta delle Dixie Chicks: Le Dixie Chicks risposero alla controversia con coraggio e determinazione. Nel 2006, pubblicarono l'album **"Taking the Long Way"**, che includeva la famosa canzone **"Not Ready to Make Nice"**. Questo brano affrontava direttamente le critiche ricevute e il loro rifiuto di scusarsi per aver espresso le proprie opinioni. > **"Not Ready to Make Nice"** fu un grande successo e vinse diversi Grammy Awards, incluso quello per il **Miglior Album dell'Anno** e la **Canzone dell'Anno**. L'album rappresentava un chiaro messaggio: non erano pronte a cedere alla pressione e non si scusavano per aver esercitato la loro libertà di espressione. ### Riflessione sulla controversia: La controversia rifletteva una tensione più ampia nella società americana post-11 settembre, dove il patriottismo era visto da molti come un valore sacro e la critica alle politiche governative, specialmente riguardo alla guerra, poteva essere percepita come un tradimento. Le Dixie Chicks divennero un simbolo di questa polarizzazione e del conflitto tra libertà di espressione e patriottismo. ### Conclusione: Sebbene le Dixie Chicks non abbiano trattato direttamente l'11 settembre, la loro critica alla guerra in Iraq e a George W. Bush, strettamente connessa agli eventi post-11 settembre, portò a una delle più grandi controversie nella storia della musica country. Tuttavia, con il tempo, il gruppo è riuscito a superare le difficoltà e ha ottenuto una sorta di redenzione artistica e pubblica, guadagnando il rispetto di molti per la loro integrità e il loro coraggio nel difendere le proprie opinioni. Sì, i **Green Day** hanno trattato indirettamente i temi legati all'11 settembre e le sue conseguenze, soprattutto attraverso il loro album più famoso, **"American Idiot"** (2004). L'album non affronta direttamente gli attacchi dell'11 settembre, ma esplora il clima politico e sociale che si è sviluppato negli Stati Uniti dopo gli attentati, in particolare la guerra in Iraq, il patriottismo estremo e la manipolazione dei media. ### Contesto di "American Idiot": "American Idiot" è un concept album che segue un personaggio chiamato **Jesus of Suburbia**, che rappresenta la frustrazione e l'alienazione della generazione cresciuta nell'America post-11 settembre. L'album racconta una storia di rabbia, disillusione e ribellione contro il governo, i media e la società americana dell'epoca. ### Temi principali legati all'11 settembre e alle sue conseguenze: 1. **Critica ai media e alla manipolazione dell'informazione**: - La title track, **"American Idiot"**, critica aspramente la manipolazione dei media e il modo in cui la società americana è stata spinta verso un patriottismo cieco e un clima di paura. La canzone si scaglia contro l'idea che gli americani vengano indotti a seguire passivamente le direttive dei media e del governo, un tema strettamente legato alla narrazione post-11 settembre e alla propaganda che ha accompagnato la guerra in Iraq. > "Don't wanna be an American idiot, Don't want a nation under the new media." Qui, la band esprime il loro disgusto per l'influenza della propaganda mediatica e la crescente polarizzazione politica. 2. **Disillusione verso il governo e la guerra**: - Il brano **"Holiday"** è una feroce critica alla guerra in Iraq e alla politica estera dell'amministrazione Bush, spesso vista come una conseguenza diretta degli attacchi dell'11 settembre. La canzone denuncia l'ipocrisia e l'avidità che, secondo i Green Day, hanno guidato la decisione di invadere l'Iraq. > "This is the dawning of the rest of our lives, On holiday." Il termine "holiday" viene usato sarcasticamente per indicare una pausa dalla realtà, mentre la guerra viene condotta senza una giustificazione morale valida. 3. **Riflessioni sulla paura e l'ansia della generazione post-11 settembre**: - **"Boulevard of Broken Dreams"** esplora temi più personali di alienazione e solitudine, ma riflette anche l'ansia e la disillusione che molti americani, specialmente giovani, hanno provato nell'era post-11 settembre. Il senso di isolamento e la perdita di speranza di Jesus of Suburbia rappresentano simbolicamente il malessere di una generazione confusa e incerta sul futuro. > "I walk a lonely road, The only one that I have ever known." 4. **Rabbia verso l'apatia sociale**: - In **"Wake Me Up When September Ends"**, molti hanno visto una connessione simbolica con gli attacchi dell'11 settembre. Sebbene la canzone sia stata scritta dal frontman **Billie Joe Armstrong** come una riflessione personale sulla morte di suo padre, è diventata una sorta di inno per chiunque cercasse di elaborare il dolore e il trauma degli eventi del 2001. L'uso di "September" nel titolo ha portato molti a collegare il brano agli eventi dell'11 settembre e al desiderio di superare quel periodo buio. > "Here comes the rain again, Falling from the stars, Drenched in my pain again, Becoming who we are." La canzone evoca sentimenti di perdita e desiderio di guarigione, temi che risuonano con l'atmosfera post-attentati. ### Impatto di "American Idiot": "American Idiot" è stato un successo enorme e ha avuto un impatto culturale significativo. L'album ha dato voce a una generazione di giovani disillusi dalla politica americana e dalla guerra, riflettendo il malcontento diffuso verso l'amministrazione Bush e il modo in cui il paese aveva reagito agli eventi dell'11 settembre. Il successo dell'album ha portato anche alla produzione di un musical omonimo, che ha continuato a esplorare questi temi. ### Conclusione: I Green Day non hanno trattato direttamente gli attacchi dell'11 settembre, ma il loro album "American Idiot" è una risposta critica alle conseguenze politiche e sociali di quell'evento, in particolare la guerra in Iraq, la manipolazione dei media e la disillusione dei giovani. L'album è stato un potente veicolo di protesta contro il clima politico dell'epoca e ha dato voce alla frustrazione di molti americani.

Ciao ragazzi in questo video parleremo di integrali vedremo innanzitutto in maniera un po informale di che cosa si tratta poi cercheremo di darne una definizione un po più rigorosa e infine vedremo concretamente come fare a calcolarli supponevo quindi che ci vengano assegnate una certa funzione f dx e un certo intervallo ab sull'asse hicks allora potete pensare all'integrale della funzione f dx sull'intervallo abili come all'area della regione di piano che vi ho colorato qui in giallo e che vedete è sostanzialmente l'area sottesa dal grafico della funzione f dx all'interno dell'inter vallino ap né altre parole l'integrale definito tra e b della funzione f dx integrata index che si indica con questa notazione ci fornisce l'area consegna della regione di piano compresa tra il grafico di f dx l'asse hicks e le rette verticali hicks uguale a da edx uguale sa.ba perché dico aria con il segno ragazzi perché quello che accade è che se il grafico della funzione f dx che io ho preso qui al di sopra della sx fosse invece al di sotto quindi se volete se la funzione f dx fosse negativa nell'inter vallino abi che ci interessa allora avremo che il risultato dell'integrale coinciderebbe con un numero che è l'area cambiata però disegno queste considerazioni sull'interpretazione geometrica dell'integrale ed in particolare sulle eventuali segno da dare all'area riprenderemo meglio in uno dei video successivi e vi saranno più chiare tra un attimo quando ci occuperemo della definizione formale dell'integrale prima però cerchiamo di capire come si chiamano le varie parti che compongono questa notazione l'intervallo avente come estremi a e b lungo qui svolgiamo l'operazione di integrazione prende il nome di intervallo o se volete anche zona di integrazione mentre la funzione f dx che stiamo integrando quindi quella di cui ci interessa l'area del sotto grafico prendendo a me di funzione integrando mentre dell'ics che ci compare qui in fondo a chiusura della notazione ci ricorda che stiamo integrando rispetto alla variabile cerchiamo a questo punto di capire come si fa a definire ha vigorosamente ed integrale e nel fare questo cominciamo considerando il caso di una funzione costante che valga sempre k e che abbia quindi come grafico una retta orizzontale per funzioni di questo tipo quindi funzioni che assumano sempre lo stesso valore all'interno dell'intervallo che ci interessa integrale viene definito dal prodotto della lunghezza dell'intervallo quindi p meno a x il valore costante che la funzione assume all'interno dell'intervallo quindi k e coincide quindi con l'area con segno del rettangolino che si viene a costruire tra il grafico della funzione l'asse hicks e le rette verticali hicks uguale ad a ed hicks uguale a b e capiti anche perché l'area col segno x che vedete b meno a che rappresenta la lunghezza della base viene sicuramente positivo infatti bit è più grande di a mentre il valore k costante che assume la funzione potrebbe anche essere negativo se questa retta orizzontale stesse al di sotto capite dell'asse delle ascisse e quindi quello che accade che il prodotto di queste due quantità ci fornisce l'area del rettangolino se k e maggiore di zero mentre ci fornirebbe l'area del rettangolino cambiata disegno se k fosse una quantità negativa abbiamo quindi visto che definire l'integrale risulta abbastanza semplice se la nostra funzione è costante e risulta un'operazione poco più complicata se la nostra funzione invece di essere costante è costante a tratti le funzioni costanti a tratti dette anche funzioni a scala non sono altro che funzioni come quella che vi ho riportato qui che assumano un certo valore per esempio k con uno in un primo intervallo poi assumono un nuovo valore per esempio k con due in un secondo intervallo e così via per un certo numero di intervalli che io che ho chiamato genericamente n quindi nell'ennesimo intervallino la funzione assumerà il valore k con n capite che a questo punto il nostro intervallo ab illo possiamo pensare come suddiviso in tanti intervalli più piccoli e vedete che ho chiamato hicks con 0 ed hicks con uno gli estremi qui del primo intervallino poi avremo hicks con uno e di xco gli estremi del secondo e così via finché a questo punto l'ultima sarebbe hicks con n e il precedente hicks con è nemmeno uno e naturalmente avremo che hicks con zero coincide con all'inizio ed hicks con n coinciderebbe quindi con b per una funzione di questo tipo quindi per una funzione a scala l'integrale viene definito come la somma algebrica delle aree prese naturalmente consegna dei vari rettangolini che si vengono a creare vedete in corrispondenza di ciascuno dei tratti in cui la funzione risulta costante vedete che i due termini che compaiono moltiplicati all'interno della sommatoria non sono altro che la base è l'altezza presa col segno del jesi mo rettangolino della nostra sequenza di n rettangolini complessivi e quindi fare la sommatoria per i che va da 1 fino ad n significa proprio poi sommare tutti questi contributi tra di loro fin qui quindi è tutto abbastanza easy l'unica differenza tra il primo caso il secondo caso se volete è che invece di avere un unico rettangolino abbiamo di sotto più rettangolini ma si tratta comunque di fare delle aree di rettangoli eventualmente prese e consegnò la faccenda diventa invece molto meno banale quando la nostra funzione non è costante perché a questo punto il sotto grafico vedete è diventato un trappeto ed è già una figura che assomiglia a un trapezio vedete a due lati paralleli ma al posto di avere un lato obliquo cern passatemi il termine un lato storto e questo naturalmente complica la cosa perché non abbiamo più una formula comoda come l'area del rettangolo da poter utilizzare come fare quindi a cavarsela in questo caso l'idea è fondamentalmente quella di andare a considerare delle funzioni a scala che siano sempre maggiori uguali della nostra funzione f dx vedete io qui viene disegnata una che ho chiamato hdx e vedete che sta sempre al di sopra o al limite eventualmente coincide con la nostra funzione f dx e quello che possiamo fare sostanzialmente approssimare il valore dell'area che vogliamo calcolare con l'integrale della funzione a scala verde e questo integrale della funzione a scala verde l'abbiamo definito prima non è altro che la somma delle aree di questi rettangolini prese con il proprio segno più precisamente possiamo dire che l'area del sotto grafico che ci riproponiamo di calcolare deve essere minore o uguale dell'integrale tra i big della funzione a scala hdx ed è anche chiaro che di funzione a scala hdx che siano sempre maggiori uguali della funzione f all'interno dell'intervallo ab non c'è solo questa ce ne sono naturalmente infinite e di queste infinite funzioni come potete notare dando un occhiata questa animazione ce ne sono alcune che approssimano meglio di altre l'area gialla che ci riproponiamo di calcolare e di conseguenza se noi considerassimo l'insieme di queste infinite funzioni e più precisamente l'insieme dei loro integrali ci aspettiamo che l'estremo inferiore di questo insieme coincide sostanzialmente con l'area che vogliamo calcolare e questo perché i ragazzi perché funzioni a scala di questo tipo sostanzialmente approssimano per eccesso la funzione viola e quindi il loro integrale ci fornirà una sovrastima dell'area e quindi se immaginassimo di prendere vi avviate le funzioni a scala che approssimano sempre meglio il comportamento della f ci aspettiamo in tutta risposta che i loro integrale diventino sempre più piccoli cioè sempre più vicini al valore vero dell'area che stiamo cercando di calcolare e quindi capite che il valore dell'area diventa proprio qui il numero a cui questi integrali tendono a mano a mano che miglioriamo l'approssimazione e quindi capite diventa l'estremo inferiore del loro insieme naturalmente lo stesso giochino che noi abbiamo appena fatto con le funzioni hdx che sovrastimano la funzione f1 lo potrebbe fare con delle funzioni a scala tipo la gdx che vi ho disegnato qui che invece sottostimano il valore di f cioè sono delle funzioni a scala che sono sempre minori uguali dalla effe dx è chiaro che similmente a quanto accadeva prima di funzioni gdx di questo tipo ce ne sono infinite e naturalmente alcune approssimeranno meglio di altre l'andamento della funzione f e dunque se consideriamo gli insieme dei loro integrali possiamo pensare al valore dell'area che vogliamo calcolare come all'estremo sud di ore di questo insieme se quindi come spesso accade l'estremo superiori di un insieme coincide con l'estremo inferiore dell'altro allora si dice che la funzione arimany integrabile sull'intervallo a b ed il valore comune è proprio l'integrale della funzione f calcolato sull'intervallo ab cosa che geometricamente possiamo interpretare come la misura nell'area o perché ho detto se come spesso accade questi due valori coincidono perché in realtà potrebbe sembrare scontato che debbano coincidere nel senso che ci si immagina che si all'estremo superiore di questo insieme che l'estremo inferiore di quest'altro insieme sostanzialmente debbano restituire l'area in realtà però ci sono dei casi di funzioni anche limitate ma molto particolari in cui questo non accade se siete curiosi e guardate che sono funzioni comunque molto poco frequenti vi lascio un link nella descrizione qui sotto dove potete approfondire la cosa capito questo vediamo adesso come si fa concretamente a calcolare un integrale e in maniera se volete in un certo senso analoga a quanto accadeva per le derivate per fare il calcolo degli integrali non si sfrutta direttamente la definizione che abbiamo appena dato un po come quando dovete calcolare una derivata e non vi sporcate le mani direttamente con il limite del rapporto incrementale che sarebbe proprio la definizione della derivata ci sono delle strategie più efficaci più rapide se volete per fare questo calcolo ecco qualcosa di simile accade con gli integrali e cerchiamo di capire concretamente come si fa la prima cosa che devo fare se voglio calcolare l'integrale di una certa funzione f dx sull'intervallo ab è quella di trovare un'altra funzione che nell'intervallo ab abbia la nostra fbx come derivata cioè dove trovare una cosiddetta primitiva della funzione f dx una volta trovata e di solito la si indica con f grande se la funzione di partenza la effe piccolo si va a calcolarla nei due estremi di integrazione è una volta che siano questi due valori c'è una volta che abbiamo f grande di b ed f grandi di a è sufficiente sottrarli per trovare proprio il valore dell'integrale quindi fondamentalmente la procedura è basata tre passaggi provo una primitiva la calcolo nei due estremi di integrazione e sottraggo questi due numeri il risultato è proprio il valore dell'integrale per capire meglio la cosa consideriamo subito un esempio e supponiamo quindi di dover calcolare l'integrale tra 0 e 5 d3x quadro index allora per prima cosa dobbiamo trovare una funzione che abbia 3x quadro come derivata nell'intervallo 05 e se ci pensate bene qual è una funzione che a 3x quadro come derivata per esempio la funzione hicks al cubo che noi dobbiamo andare a calcolare negli estremi di integrazione che sono hicks uguale a 5 ed hicks uguale a zero e vedete che per indicare che la dobbiamo calcolare proprio nei due estremi 5 è 0 si utilizza questa notazione con due parentesi quadrate e si riportano gli estremi 1 qui in alto e l'altro qui in basso quindi questa notazione sottende che adesso questo hicks al cubo lo dovremmo calcolare prima i knicks uguale a 5 e poi i knicks uguale a zero e poi dovremmo sottrarre i due valori che otteniamo se quindi lo facciamo concretamente vedete che otteniamo 5 elevato alla terza che non è altro che la primitiva hicks alla terza calcolata mettendo al posto della x5 e gli dobbiamo poi sottrarre sempre la primitiva hicks alla terza calcolata però i knicks uguale a zero cioè mettendo 0 al posto della ics e

Prova

110.31.b.17.C

Topic: Reading/Vocabulary Development

STAAR English II High School 2014 - Past Paper

110.31.b.1.B

STAAR English I High School 2017 - Past Paper

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